Geboren wurde Anna Bergmann in Stendal. Sie studierte Theaterwissenschaft, Philosophie und Anglistik an der Freien Universität Berlin, anschließend Regie an der Hochschule für Schauspielkunst »Ernst Busch« Berlin. Seit 2003 inszenierte sie u. a. am Deutschen Nationaltheater Weimar, am Saarländischen Staatstheater Saarbrücken, in Oberhausen, Göttingen, Heidelberg, in Konstanz, Lübeck und am Maxim Gorki Theater Berlin.
Am Oldenburgischen Staatstheater inszenierte sie die deutsche Erstaufführung von Sera Moore Williams »Crash«, Shakespeares »Viel Lärm um nichts«, »Breaking the Waves« von Lars von Trier und Tolstois »Anna Karenina«; am Staatstheater Braunschweig Lessings »Miss Sara Sampson«, Tennessee Williams’ »Die Katze auf dem heißen Blechdach« und »Treulose« nach Ingmar Bergman. Sehr wichtige Arbeiten führten sie ans Schauspielhaus Bochum, dort adaptierte und inszenierte sie Vicki Baums »Menschen im Hotel« und Lewis Carrolls »Alice« sowie Büchners »Leonce und Lena«. Am Thalia Theater Hamburg hatte sie Premiere mit »Ernst ist das Leben (Bunbury)« von Oscar Wilde (womit sie zu »Radikal Jung 2010« in München eingeladen wurde), am Berliner Maxim Gorki Theater inszenierte sie die Uraufführung von Juliane Kanns »Fieber« und »Radikal« von Yassin Musharbash. »Eine Unbekannte aus der Seine« von Horváth inszenierte sie am Münchner Volkstheater.
Am Burgtheater Wien inszenierte Anna Bergmann 2011 die Uraufführung von Oliver Klucks »Die Froschfotzenlederfabrik«. Im September 2013 feierte Ibsens »Die Frau vom Meer« Premiere am Akademietheater in Wien. 2009 führte sie zum ersten Mal Opern-Regie bei »Madama Butterfly« von Giacomo Puccini am Oldenburgischen Staatstheater, 2012 folgte die Oper »Der Freischütz« am Stadttheater Klagenfurt. Am Badischen Staatstheater Karlsruhe hatte im Februar 2015 Puccinis »La Bohème« Premiere.
Regelmäßig arbeitet Anna Bergmann in Schweden am Malmö Stadsteater, wo die schwedische Erstaufführung von Elfriede Jelineks »Was geschah, nachdem Nora ihren Mann verlassen hatte oder Stützen der Gesellschaften« und »Ein Sommernachtstraum« 2014 Premiere feierten. Zuletzt inszenierte sie dort 2016 »Die bitteren Tränen der Petra von Kant«. 2015 inszenierte sie Noah Haidles »The Homemaker« am Staatsschauspiel Hannover, welches von »Theater heute« zum besten fremdsprachigen Stück des Jahres gekürt wurde.
Für ihre Inszenierung von »Fräulein Julie« am Theater in der Josefstadt ist sie als beste Regisseurin für den Nestroy Preis 2016 nominiert. Anna Bergmann ist im Dezember 2015 Mutter eines Sohnes geworden und lebt in Berlin.